MATEMÁTICAS 1

REPASO DE LAS MATEMATICAS
http://books.google.com.mx/books?id=pj3cB8QGMgoC&printsec=frontcover&dq=matematicas+para+administracion+y+economia+haeussler+edicion+11&lr=&source=gbs_similarbooks_s&cad=1#v=onepage&q&f=false

PRINCIPIOS MATEMÁTICOS

NÚMEROS NATURALES O POSITIVOS:0,1,2,3,4,5............

NÚMEROS ENTEROS NEGATIVOS:-1,-2,-3,-4,-5............

SUMA Y RESTA ALGEBRAICA 

En los signos iguales se suman (positivos o negativos), diferentes se restan .   Ejemplo:
(3x²+4y) + (5x²+6y) = 8x² +10y

(3x²+4y) – (5x²+6y) =-2x² – 2y

MULTIPLICACION

Los esponentes siempre se suman cuando la letra es igual.  Ejemplo:

+5x⁴(-7x²) = -35x⁴⁺² = -35x⁶

6x³y (-7x⁴y) = 42x³⁺⁴ = 42x⁷y⁵

7x⁴(7x+6y)= 7x⁴ (7x) + 7x⁴(6y)

                   
  LAFORMULA PARA ESTOS PROCEDIMIENTOS ES:
                               
EJEMPLO:         (7x+2y)² = (7x)² +2 (7x) (2y) +(2y)²
                                          = 49x² +28xy + 4y²               
   

BIONOMIOS CONJUGADOS

(a+b)  (a-b) =    a² – b²

(7x + 4) (7x-4) = (7x²) – (4)²

                          =49² - 16

(x +a ) (x + b) = x² + (a +b) x ab

(x + 4) (x + 6) = x² + 10x + 24

(x – 7) (x + 2) = x² – 5x - 14

BINOMIO AL CUBO

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(x + 3)³= x³ + 3 (x)²(3) + 3(x) ²+ (3)³

             = x³ + 9x³ 27x + 27

DIVISION

REGLAS DE FACTORIZACION 

Los pasos a seguir para factorizar un polinomio y hallar sus raíces son:

1º Sacar factor común en el caso de que no haya término independiente.

2º Ver si es una diferencia de cuadrados si tenemos un binomio.

3º Comprobar si es un trinomio cuadrado perfecto si es un trinomio.

4º Trinomio de segundo grado.

5º Polinomio de grado superior a dos.

 5x²y⁴ – 15x⁴ y² + 20x⁶ y⁶ =  5xy² (y² – 3x² + 4x⁴y⁴)

DIFERENCIA DE CUADRADOS

 a² – b² = (a + b) (a –b)

x⁴ – 16 = (x² + 4 (x² – 4) = (x² + 4) (x + 2) (x – 2)

TRINOMIOS

Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un un binomio al cuadrado.

a² + 2 a b + b² = (a + b)²

a² − 2 a b + b² = (a − b)²

FACTORIZACION DE TRINOMIOS

La factorizaciòn se mueve de un factor común. Después se facto rizan por completo la expresión resultante, como verificación en recomendable multiplicar el lado derecho para ver si coincide con el izquierdo.

	Ejemplo
Problema		Factorizar 6z2 + 11z + 4
		6z2 + 3z + 8z + 4		Para hacer la agrupación más fácil, reescribir el trinomio ax2 + bx + ccomo ax2 + rx + sx + c. Usar los valores de la tabla anterior: r = 3 y s = 8. En este trinomio, reemplazar 11z con 3z + 8z
		(6z2 + 3z) + (8z + 4)		Usar agrupación para considerar los términos en pares
		3z(2z + 1) + (8z + 4)		Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor común, 3z, del primer grupo
		3z(2z + 1) + 4(2z + 1)		Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor común, 4, del segundo grupo
		(2z + 1)(3z + 4)		Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor común,(2z + 1), de los pares El trinomio original queda completamente factorizado
Solución		(2z + 1)(3z + 4)

http://www.aprendematematicas.org.mx/notas/algebra/DGB1_2_6.pdf

FUNCIONES

Una función es una regla que asigna a cada numero de entrada un numero de salida. Al conjunto de números de entrada para los cuales se aplica la regla se le llama el dominio de la factorizacion. Al conjunto de todos los números posibles de salida se le llama rango o dominio.

IGUALDAD DE FUNCIONES

Decir que 2 funciones f y g son iguales, detonando f = 0, es igual a decir que:

1: El dominio de f es igual al dominio de g.

2: Para toda por el dominio de f y g, f(x) = g(x)

                                   f(x) = x² + 2 + 1                 g(x) = (x + 1)²

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].

La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

 

 

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

Ejercicio:

 Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x².

Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.

Resolución:

 

       

· La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:

‚ Dadas las funciones f(x) = x² + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular:

a) (g o f ) (x)

b) (f o g ) (x)

c) (g o f ) (1) y (f o g ) (-1)

d ) El original de 49 para la función g o f.

Resolución:

 

 

                                                                      

 

 

                                                                        

c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores:

(g o f ) (x) = 3x² + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

La gráfica de una función ayuda a interpretar mejor las relaciones entre las variables. En 
esta página haremos el bosquejo de gráficas de funciones, haciendo una tabla de valores, 
representándolo en el plano y uniendo los puntos.

_{FUNCION LINEAL} 

La función lineal es del tipo:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

y = 2x

x	0	1	2	3	4
y = 2x	0	2	4	6	8

Pendiente

m es la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

Función identidad

f(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

FUNCION CUADRATICA

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax² + bx + c

donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax² es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola.

Parábola del puente, una función cuadrática.

Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.

Estas características o elementos son:

Orientación o concavidad (ramas o brazos)

Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

Punto de corte con el eje de ordenadas

Eje de simetría

Vértice

Orientación o concavidad

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax²):

Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x² − 3x − 5

Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x² + 2x + 3

DETERMINACIÓN DE DOMINIOS

Si la función de polinomio el dominio son todos los reales.

Si la función es racional el dominador se iguala a 0 y se resuelve la ecuación, el o los resultados son los valores que no pertenecen al dominio.

RADICALES

Si el radical es par lo interno del radical se hace una ecuación donde sea de mayor o igual a 0.

PROGRAMA DE DEMANDA

Suponga que la ecuación P = 100/Q que describe el precio P por unidad de cierto producto y el numero de unidades Q que los consumidores compraran (demanda) por semana a ese precio. Esta ecuación se llama Ecuación de demanda por ejemplo: si se requieren 50 unidades a que precio se tienen que dar.

F(Q) = 100/Q     f(50) = 100/50= 2    P= 2

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN ENTERA: Es la que permanece constante independientemente de su dominio.

f(x) = 5                                                      f(1000)  = 5

f(1) = 5                                                     f(x+1) = 5

f(2) = 5

FUNCIÓN POLINÒMICA: Son las que tienen la formula donde "n" es cualquier valor. Se basa en el exponente mas alto.

F(x)= 5x³+ 3x² +2x + 1      n = 3

F(x) = x²⁰ – 32³²      n = 32

FUNCIONES RADICALES:  Es el cociente de dos funciones polinomiales (Todas las funciones polinomiales son racionales)

                                                         F(x) = x² +5/ x+6                 f(x) = x+3/ 1

FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES:

FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO: Siempre es el valor sin contar.

FUNCIÓN FACTORIAL:

Factorial !

La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden. Ejemplos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1

Ejemplo

Otros ejemplos serían:

• Tres factorial: 3!=3⋅2⋅1=6
• Ocho factorial: 8!=8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=40320
• Cuatro factorial: 4!=4⋅3⋅2⋅1=24

FUNCIÓN EXPONENCIAL: Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma  f(x) = b^x, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.

1	La función exponencial es la inversa de la logarítmica:      y = ex      ⇔      x = Ln y
2	La función   y = ex  tiene por dominio   R   y por recorrido   y > 0
3	La función    y = ex  es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio.
4	La función   y = ex   es cóncava hacia arriba en todo su dominio.
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FUNCIONES COMBINADAS: 

Sean f y g dos funciones, definimos: Suma: (f+g)(x)=f(x)+g(x) Diferencia: (f-g)(x)=f(x)-g(x) Producto: (fg)(x)=f(x)g(x) Cociente: (f/g)(x)=f(x)/g(x)

El dominio de f + g, f - g y fg es la intersección del dominio de f con el dominio de g. El dominio de f / g es la intersección del dominio de f con el dominio de g sin los números para los que g(x) = 0.


http://www.ilustrados.com/tema/67/Matematica-Funciones.html

En mi opinion son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, deestadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía,de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. 

 BIBLIOGRAFIA

http://www.ditutor.com/polinomios/factorizacion.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/factorial.html

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcomp.htm

http://www.vitutor.com/fun/2/c_3.html

http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/funcion_cuadratica.html