jueves, 22 de mayo de 2014



LIMITES

      f ( x ) = x3 - 1 
                   x - 1 
¿QUE SON LOS LIMITES?
 el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.



PROPIEDADES DE LOS LIMITES
Para determinar limites no siempre hace falta calcular los valores de la función o hacer el bosquejo de una gráfica. Existe también varias propiedades que se pueden emplear las siguientes pueden ser razonables:
leyes de limites

Teorema 1
Si se tiene que
 Entonces:
a)    (límite de la suma = suma de los límites)
b)     (límite del producto es igual al producto de los límites)
c) siempre que M ≠ 0 (límite del cociente es igual al cociente de los límites)
Teorema 2

Ejemplo de aplicación: Evaluar
Para ello vamos a descomponer la función en partes lineales:
Nótese que si evaluamos la función:
esta función es continua en x = -2. Esto puede observarse de la gráfica de la ecuación que no tiene huecos ni saltos.

El procedimiento aplicado en este ejemplo nos indica como cualquier polinomio:
puede descomponerse en sumas y productos de partes lineales, pudiendo evaluarse los límites de cada una de estas partes lineales por sustitución directa y a su vez esto nos permite evaluar el límite del polinomio y por tanto tenemos el:
Teorema 3
De aquí:
Teorema 4
Si p(x) y q(x) son polinomios, entonces:
siempre que q(x0) ≠ 0.
Ya vimos que muchas veces podemos evaluar el límite de polinomios y sus cocientes por sustitución directa. Pero este no es siempre el caso. Por ejemplo si hacemos esto con el caso:
no lo podemos determinar puesto que el denominador se convierte en 0. Sin embargo, si factorizamos:
Ahora a medida que x se aproxima a 1. la expresión x + 2 se aproxima a 3 y
siempre que x ≠ 1
Las gráficas nos ayudan a comprender que la existencia de un hueco en la gráfica no afecta su límite (aunque sí a su continuidad).
                       
Gráfica de                                                    Gráfica de x + 2


Un resumen de cómo hallar límites:
Por la gráfica:
1. En un salto de la gráfica el límite no existe, pero pueden existir límites laterales.
2. En un hueco de la gráfica el límite existe y es igual al valor que llenaría el hueco.
3. En una “explosión” de la gráfica el límite no existe.
4. En todos los demás puntos la función es continua y el límite es igual al valor real de la función.
Por la ecuación:
1. Si la fórmula cambien en x0, halle los límites laterales y verifique si son iguales.
2. Si la fórmula no cambia en x0 intente hacer la sustitución x = x0.
a)    Si el denominador no es 0 entonces y f(x) es continua en x0.
b)   Si el cociente tiene la forma indeterminada k/0, k ¹ 0, en tal caso el límite no existe.
c)    Si el cociente tiene la forma indeterminada 0/0 entonces factorice, reduzca y examine nuevamente según x ® x0.
Por datos numéricos:
Elabore una tabla eligiendo los valores de x cercanos a x0  y a ambos lados de x0.
http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n


Límites laterales

Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función $f$, en la que existe una discontinuidad cuando $x=a$:
notemos que cuando $x$ tiende hacia "a" por la derecha de "a" la función tiende a 2, pero cuando $x$ tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1.
Escribimos $x\Rightarrow a^{+}$ para indicar que $x$ tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores que "a". Similarmente $x\Rightarrow a^{-}$ indica que $x$ tiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que "a". Utilizando ahora la notación de límites, escribimos $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}=2}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}=1}$. Estos límites reciben
el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es 1. 
Ejemplo:
Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función $h$ cuya representación gráfica es la siguiente:
Se tiene que:
$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{h(x)}=3}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{h(x)}=-1}$
$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{+}}}{h(x)}=-3}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-1^{-}}}{h(x)}=1}$

Definición de límite por la derecha

Se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}=L}$ si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si$0<x-a<\delta$ entonces $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon \;\; L$ es el límite por la derecha de $f(x)$ en "a".  
   
Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de $x-a$, pues $x-a$ es mayor que cero ya que $x>a$.

Definición de límite por la izquierda

Se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}=R}$ si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que si$0<a-x<\delta$ entonces $\vert f(x)-R\vert<\varepsilon\cdot R$ es el límite por la izquierda de $f(x)$ en "a".  
Note que la expresión $a-x$ es mayor que cero, pues $x\rightarrow a^{-}$ por lo que $x<a$.
En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de una función cuya ecuación se da. 
Ejemplo:
Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función $f$ definida por:
$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} x+2 & \mbox{si} & x\geq 1 \\ -x^{2}-1 & \mbox{si} & x<1 \end{array}\right.$
Primero hagamos la gráfica de la función:
El punto de discontinuidad se presenta cuando $x=1$
Luego: $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{+}}}{f(x)}=3}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{-}}}{f(x)}=-2}$
Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2). 
Ejercicio:
Represente la función $h$ definida por $h(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} x-1 & \mbox{si} & x<0 \\ x+1 & \mbox{si} & x>0 \end{array}\right.$
y determine los límites laterales en el punto de discontinuidad.
Es posible demostrar que para que exista $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}}$ es necesario y suficiente que los límites laterales existan y sean iguales.
Es decir, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=L}$ si y solo si $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}=L}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}=L}$
Por consiguiente, si $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}}$ es diferente de $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}}$ se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}}$ no existe. 
Ejemplo:
Representemos gráficamente la función definida por:
$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} x^{2}-2 & \mbox{si} & x<2 \\ x & \mbox{si} & 2<x<4 \\ 4-x & \mbox{si} & x\geq 4 \end{array}\right.$
Como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{f(x)}=2}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{f(x)}=2}$, entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=2}$
Como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4^{+}}}{f(x)}=0}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4^{-}}}{f(x)}=4}$, entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4}}{f(x)}}$ no existe. 
Ejercicio:
Considere la representación gráfica de la función $g$ definida por:
$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \sqrt{-x-1} & \mbox{si} & x\leq -2 \\ x+3 & ... ...& \mbox{si} & 1\leq x\leq 3 \\ (x-4)^{2} & \mbox{si} & x>3 \end{array}\right.$
De$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-2}}{g(x)}}$termine si existen cada uno de los límites siguientes:
a.
b.$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1}}{g(x)}}$
c.$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3}}{g(x)}}$
d.$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4}}{g(x)}}$
e.$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{g(x)}}$

LIMITES AL INFINITO

¡Los límites valen también cuando ya sabes el valor al llegar! Nadie ha dicho que sean sólo para funciones complicadas.
Por ejemplo:
Sabemos perfectamente que 10/2 = 5, pero también podemos usar límites (¡si queremos!)

Acercarse al infinito

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

Vamos a empezar con un ejemplo interesante.

Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞?

Respuesta: ¡No lo sabemos!

¿Por qué no lo sabemos?

La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.
A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?
De hecho 1/∞ es indefinido.



CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD


Condiciones que debe cumplir una función para que sea continua en un punto. Si alguna condición no se cumple la función presentara un discontinuidad en ese punto.

Discontinuidad de funciones

Continuidad

Tipos de discontinuidad de funciones


Los tipos de discuntinuidad de funciones pueden ser entre otras evitable o discontinuidad de salto.

Discontinuidad evitable


Discontinuidad evitable

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de salto finito


Discontinuidad de salto finito

Discontinuidad de salto finito

Actividades interactivas




Discontinuidad de salto infinito


Continuidad de funciones


Continuidad


LIMITES DE INTERÉS COMPUESTO


LIMITE DE LA FUNCIÓN CONSTANTE



El límite de la función constante f(x) = c es la misma constante, cualquiera sea el valor al que tiende. 

DIVISIÓN SINTÉTICA

 División sintética. Es un método rápido y exacto para dividir un polinomio  entre un polinomio lineal de la forma . El método se describe en la forma siguiente:
  • Se colocan los coeficientes de  en orden descendente de las potencias de x, colocando cero como coeficiente de cada potencia que no aparezca.
  • Después de escribir el divisor en la forma , se usa  para generar la segunda y la tercera fila así: se baja el primer coeficiente del dividendo y se multiplica por ; se suma el producto al segundo coeficiente del dividendo, se multiplica esa suma por  y se suma al tercer coeficiente del dividendo. El proceso se sigue hasta que un producto se suma al término constante del dividendo.
  • El último número de la tercera fila es el residuo; los otros números de la tercera fila son los coeficientes del cociente, que es de un grado menor que .
Ejemplo 12.
Use la división sintética para hallar el cociente y el residuo que resultan de dividir  entre .
Solución.
, o sea que .
.
Por tanto, el cociente es, .
Un residuo es .









Los limites son importantes porque con ellos se puede medir y calcular de manera exacta cualquier situación, como el tiempo que se emplea una actividad hasta el calculo y la probabilidad de un suceso.


http://mialgebra.blogspot.mx/2009/03/ejercicios-resueltos-de-algebra-de.html


BIBLIOGRÁFICA
http://alexisobed.wordpress.com/3-4-propiedades-de-los-limites/
http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites.html

http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/lim-laterales.html

http://www.vadenumeros.es/primero/tipos-de-discontinuidad.htm

http://www.eva.com.mx/sia/facs/Talleres/mate1/avanzau4r4.htm






Publicado por en

6 comentarios:

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)