MATEMATICAS 1

GRÁFICAS DE UNA FUNCIÓN

TIPOS DE FUNCIONES

Función explícita.

Es aquella función en donde la variable dependiente y, se halla despejada. Si es posible resolver una ecuación para y en términos de x, se escribe y=f(x) y se dice que la función dada explícitamente.

Ej.: y=3x+2.

Función implícita.

La variable no se halla despejada, es decir, se halla mezclada con la variable x. cuando la regla que define a una función f está dada por una ecuación en x y y, de la forma f(x, y)=0, se dice que la función está dada implícitamente.

Ej.: 3x+y-5-2xy=0

Función algebraica.

Son aquellas donde aparecen las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Ej.: y=(√3x+5)/(7x³-12)

Función trascendente.

Son las funciones trigonométricas, las trigonométricas inversas, las logarítmicas y las exponenciales.

Función creciente.

Una función f es creciente sobre un intervalo (rango de dos valores perteneciente a los reales tales que uno es mayor que otro) en R si, para cualquier X1 y X2 en R, donde X1 < X2, se tiene que f(X1) < f(X2), es decir, los valores de función se incrementan.

Función decreciente.

Una función f es decreciente sobre un intervalo en R si, para cualquier X1 y X2 en R,donde X1>X2, se tiene que f(X1) > f(X2), es decir, los valores de función disminuyen.

Funciones continuas.

Es cuando su grafica no presenta ningún corte.

Funciones discontinuas.

Cuando su grafica presenta al menos un corte.

Función polinómica o entera.

Función que se halla formada por un polinomio.

Ej.: y=3x³+2x²-3x+4

Función potencial.

Función que contiene potencias de la variable x, en donde x se halla elevada a una constante.

Ej.: y=[3x+2]³

Función racional.

Función formada por un cociente de polinomios.

Función irracional.

Función que contiene raíces.

Ej.: y=√3x+2

Función trigonométrica.

Función que contiene expresiones trigonométricas. Ej.: y=sen (3x)

Función exponencial.

Función que contiene la variable x en el exponente, siendo la base una constante.

Función par.

Función en la que cambiando (x) por (-x) queda la misma expresión.

Ej.: f(x)= f(-x)

Función inversa.

Si f es una función que tiene por dominio al conjunto A y por rango al conjunto B, entonces se llama la función inversa de f, aquella que tiene por dominio el conjuntoB y por rango al conjunto A.

Función inyectiva.

También llamada función uno a uno, se caracteriza porque a cada preimagen x є A, le corresponde una y solo una imagen y є B, lo cual se resume en: si X1 ≠ X2, entonces f(X1) ≠ f(X2) para todo X1 y X2 en el dominio.

Función constante ⇒ y = n

La fórmula de la función constante es: y = n

La pendiente de la recta m = 0, no es ni creciente ni decreciente

No hace falta hacer tabla de valores la recta vale siempre n

Estudiar y representar la siguiente recta y = 3

La pendiente de la recta es 0, n = 3

VALOR ABSOLUTO.

Recordemos que el valor absoluto de un número cualquiera es siempre positivo, excepto para el cero que su valor absoluto es cero.

RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si y solo si se tienen la misma pendiente o si ambas son verticales.

RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas perpendiculares con pendiente m¹ y m²
^{son perpendiculares entre si, y solo si}m¹ es igual a m¹⁼ -1/ m²

QUE ES UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL?

La funcion f definida por f(x)= b^{x, donde b es mayor que 0 o b no es igual que 1, y el exponente x es cualquier numero real. se llama funcion exponencial con base b.}

^EJEMPLOS

1) CRECIMIENTO DE BACTERIAS:

El numero de bacterias precente en un cultivo despues de T minutos esta dado por N ( T ) = 300 (4 / 3 )

Observe que N ( T ) es un multiplo constante de la funcion exponencial (3 / 4 ).

¿Cuantas bacterias estan precentes inicialmente?

SOLUCION: Deternimar N ( T ) cuando T = 0. Se tiene N ( 0 ) = 300 ( 3/ 4) = 300 ( 1) = 300

Asi que al inicio hay 300 bacterias precentes.

N (3) = 300 ( 4/ 3) 3 = 300 ( 64 / 27 ) = 6400 / 9 = 711

2) ¿ Cuantas bacterias estan precente inicialmente despues de 6 min?

N (6) = 300 ( 4/ 3) 3 = 300 ( 4996 / 729 ) = 1685

(Leyes de los Exponentes)

Sean a y b reales positivos y x,yÎÂ ,entonces:

6 .

Gráfica de la Función Exponencial

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

La función logarítmica tiene muchas propiedades importantes. Por ejemplo.

1. log b ( m n ) = log m log b n

que dice que el logaritmo del producto de dos números es la suma de los logaritmos de esos números. Esta propiedad puede probarse el derivar la forma exponencial de la ecuación.

2. log b m / n = log b m - log b n

Es decir el logaritmo de una divicion es la diferencia del logaritmo del numerador menos el logaritmo del numerador.

3. log m r = r log b m

Es decir, el logaritmo de una potencia de un numero es el exponente por el logaritmo del numero.

Un logaritmo común es cualquier logaritmo con base 10. Recuerda que nuestro sistema numérico es base 10; hay diez dígitos del 0-9 y el valor de posición se determina en grupos de diez. Puedes recordar un “logaritmo común,” entonces, como un logaritmo cuya base es nuestra base “común”, 10.

Los logaritmos naturales son distintos a los algoritmos comunes. Mientras que la base de los logaritmos comunes es 10, la base de un logaritmo natural es el número especial e. Si bien esto parece una variable, representa un número irracional aproximadamente igual a 2.718281828459. (Como pi, continúa sin un patrón repetido en sus dígitos.) e también se llama número de Euler o constante de Napier y se escogió la letra e.

1)
El resultado (2) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia (4): 2² = 4
2)

El resultado (0) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia (1): 2⁰ = 1
3)

El resultado (y) es el exponente por el cual debemos elevar la base (1/2) para obtener la potencia (0,25): logaritmos004

, pero en este caso debemos despejar el exponente y:

Cuidado con esto, hay que recordarlo: Cuando la base no aparece expresada se supone que ésta es 10:

, el 10 que indica la base, no se coloca, se supone, así:

Aquí, otra nota importante, para no olvidar: Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L. La base e está implícita, no se escribe:

Propiedades de los logaritmos

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo de a en base a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 31_2010

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 17_2005

El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

Cambio de base:

Logaritmos decimales:

Son los que tienen base 10. Se representan por log (x) (ya vimos que la base 10 no se escribe, queda implícita).

Logaritmos neperianos o naturales:

Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x) (ya vimos que la base e tampoco se escribe, se subentiende cuando aparece ln).

Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:

ln 1 = 0; puesto que e⁰ = 1

ln e² = 2; puesto que e² = e²

ln e⁻¹ = −1; puesto que e⁻¹ = e⁻¹

El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y su valor, con seis cifras decimales, es

e = 2,718281...

COMBINACIÓN DE LOGARITMOS

FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA

http://www.auladeeconomia.com/micro-material2.htm

Para establecer el punto de equilibrio es necesario determinar las ecuaciones de oferta y demanda, las cuales tienen la siguiente forma:

(oferta)

(demanda)

De donde:

p: es el precio del producto

q: la cantidad de unidades a ofrecer o demandar, según sea el caso (oferta o demanda)

m: la pendiente es una constante positiva en el caso de la oferta y negativa para el caso de la demanda

Para determinar la ecuación de oferta se tienen los siguientes datos:

Si el precio se fija en $220.00 entonces la oferta es de 20,000 unidades, es decir:

si q = 20000 entonces p = 220.00

Si el precio se fija en $227.00 entonces la oferta es de 27,000 unidades, es decir:

si q = 27000 entonces p = 227.00

Se cuenta entonces con dos puntos: (20000 , 220) y (27000 , 227) con los que se puede determinar la pendiente:

Ahora que ya se tiene la pendiente se puede emplear la forma punto pendiente de la ecuación de la recta para determinar la ecuación de la oferta. Si se emplea el punto (20000 , 220) entonces la ecuación de oferta es:

Al despejar a p se obtiene la ecuación de oferta en su forma pendiente ordenada al origen:

De manera similar, se determina la ecuación de demanda para la cual se tienen los siguientes datos:

Si el precio se fija en $220.00 entonces la demanda es de 30,000 unidades, es decir:

si q = 30000 entonces p = 220.00

Si el precio se fija en $227.00 entonces la demanda es de 23,000 unidades, es decir:

si q = 23000 entonces p = 227.00

Se cuenta entonces con dos puntos: (30000, 220.00) y (23000, 227) con los que se puede determinar la pendiente:

Ahora que ya se tiene la pendiente se puede emplear la forma punto pendiente de la ecuación de la recta para determinar la ecuación de la demanda. Si se emplea el punto (30000, 220) entonces la ecuación de oferta es

Al despejar a p se obtiene la ecuación de la demanda en su forma pendiente ordenada al origen:

b) Precio y cantidad de unidades en el punto de equilibrio.

Se tienen las ecuaciones de oferta y demanda, se puede calcular el punto de equilibrio, el cual está dado por el punto de intersección de estas dos ecuaciones, para determinar dicho punto se igualan las ecuaciones y se resuelve la ecuación obtenida: